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Benoit Mandelbrot, Les Objets fractals

Vendredi, septembre 24th, 2010

Lecture jusqu’à page 78

  1. P7, §3: Nous savons tous comment, avant de donner une définition rigoureuse, on fait observer aux débutants qu’ils ont déjà l’idée de la continuité. On trace devant eux une belle courbe bien nette, et on dit, appliquant une règle contre ce contour: Vous voyez qu’en chaque point il y a une tangente. Ou encore, pour donner la notion déjà plus abstraite de la vitesse vraie d’un mobile en un point de sa trajectoire, on dira: Vous sentez bien, n’est-ce pas, que la vitesse moyenne entre deux points voisins de cette trajectoire finit par ne plus varier appréciablement quand ces points se rapprochent indéfiniment l’un de l’autre. Et beaucoup d’esprits en effet, se souvenant que pour certains mouvements familiers il en paraît bien être ainsi, ne voient pas qu’il y a là de grandes difficultés.
  2. P11-12, der § et suiv: À propos de dimensions: Tout d’abord, la géométrie élémentaire nous apprend qu’un point isolé, ou un nombre fini de points, constituent une figure de dimension zéro. Qu’une droite, ainsi que tout autre courbe “standard” – cette épithète impliquant qu’il s’agit de la géométrie usuelle issue d’Euclide -, constituent des figures de dimension un. Qu’un plan, ainsi que toute autre surface standard, constituent des figures de dimension deux. Qu’un cube a trois dimensions. (…) qu’une figure dont la dimension se situe entre 1 et 2 doit être plus “effilée” qu’une surface ordinaire, tout en étant plus “massive” qu’une ligne ordinaire (…)
  3. P13, §4: Comme confirmation, montrons qu’une pelote de 10 cm de diamètre, faite de fil de 1 mm de diamètre, possède, de façon en quelque sorte latente, plusieurs dimensions effectives distinctes. Au degré de résolution de 10 mètres, c’est un point, donc une figure zéro-dimensionnelle. Au degrè de résolution de 10 cm, c’est une boule tridimensionnelle. Au degré de résolution de 10 mm, c’est un ensemble de fils, donc une figure unidimensionnelle. Au degré de résolution de 0,1 mm, chaque fil devient une sorte de colonne, et le tout redevient tridimensionnel. Au degré de résolution de 0,01 mm, chaque colonne se résout en fibres filiformes, et le tout redevient unidimensionnel. À un niveau plus poussé d’analyse, la pelote se représente par un nombre fini d’atomes ponctuels, et le tout redevient zéro-dimensionnel. Et ainsi de suite: la valeur de la dimension ne cesse de sautiller!
  4. P21: La diversité des méthodes de mesure, chapitre sur la côte de la Bretagne. Comment mesurer la côte de la Bretagne, avec quels outils de mesure? Question d’échelle, et de régularisation
  5. P22, §3: (…) le meilleur n pour mesurer la côte n’était pas la taille de la souris ou de la mouche, mais celle de l’homme adulte. Donc l’anthropocentrisme intervenait déjà, quoique de façon différente: d’une façon ou d’une autre, le concept, en apparence inoffensif, de longueur géographique n’est pas entièrement “objectif”, et il ne l’a jamais été. Dans sa définition, l’observateur intervient de façon inévitable.
  6. P23, §3: Par exemple, la définition basée sur le recouvrement de la côte par de gros points de rayon n est utilisée par Pontragin et Schnirelman 1932, l’idée de la définition basée sur le recouvrement par un ruban de largeur 2n sert à Monkowski 1901, d’autres définitions sont liées à l’epsilon-entropie de Kolmogorov & Tihomirov 1959-1961.
    suite, tâche plus fondamentale est de représenter et d’expliquer la forme des côtes, à travers une valeur de D qui dépasse 1. (…)
  7. P26, §2: À propos du modèle très grossier de la côte d’une île. La courbe en flocon de neige de Von Koch.
    La cascade géométrique d’une forme peut être simplifiée comme l’indiquent les figures 34-35. Supposons qu’un bout de côte tracé de façon simplifiée à l’échelle 1/1 000 000 soit tout bêtement un triangle équilatéral. Que le nouveau détail visible sur une carte qui représente un des côtés au 3/1 000 000 revienne à remplacer le tiers central de ce côté par un promontoire en forme de triangle équilatéral, d’où une image formée de quatre segments égaux (… et ainsi de suite) > Continuant à l’infini, on aboutit à une limite qu’on appelle courbe de von Koch 1904. C’est une figure que Cesàro 1905 décrit dans les termes extatiques que voici: “C’est cette similitude entre le tout et ses parties, même infinitésimales, qui nous porte à considérer la courbe de von Koch comme une ligne vraiment merveilleuses entre toutes. Si elle était douée de vie, il ne serait pas possible de l’anéantir sans la supprimer d’emblée, car elle renaîtrait sans cesse des profondeurs de ses triangles, comme la vie dans l’univers.”
  8. P31, §3 §4: Sens physique des dimensions fractales lorsqu’on se refuse au passage à la limite. Coupure interne et externe.
    Limite à l’homothétie interne.
    En effet, aux échelles extrêmement petites, le concept de côte cesse d’apartenir à la géographie. Strictement parlant, le détail de l’interface entre l’eau, l’air et la pierre est du ressort de la physique moléculaire. Il est donc nécessaire de se demander ce qui se passe quand le passage à l’infini est interdit.
    Il est raisonnable de supposer que la côte réelle est assujettie à deux “coupures”. Sa “coupure externe”∧ se mesure en dizaines ou en centaines de kilomètres. Pour une côte ne se bouclant pas, ∧ pourrait être la distance entre les deux extrémités. Pour une île, ∧ pourrait être le diamètre du plus petit cercle qui contient toute la côte. D’autre part, la “coupure interne” se mesure en centimètres.
  9. P32, §2: (…) En somme, une côte est comme une pelote de fil. Il est raisonnable de dire que, du point de vue de la géographie (c’est-à-dire dans la zone des échelles allant d’un mètre à cent kilomètres), la côte a pour dimension le D estimé par Richardson. Ce qui n’exclut pas que, du point de vue de la physique, elle ait une dimension différente, qui serait associée au concept d’interface entre eau, air et sable, et qui serait, de ce fait, insensible à toutes les influences variées qui dominent la géographie.
    §3, Suspicion autour de la méthode fractale, car elle implique le passage à la limite mathématique avec prudence.
  10. P40-41: La Courbe originale de Peano. Résumé Wikipédia: Une courbe de Peano est une fonction continue sur l’intervalle [0, 1], surjective dans le carré [0, 1] x [0, 1], c’est-à-dire que la courbe passe par chaque point du carré. Elle est une fractale : bien que formée d’une simple ligne, elle est de dimension 2. Cette courbe est nommée en l’honneur de Giuseppe Peano qui fut le premier à la décrire.
    Lien à la topologie
  11. P44, fin §3: Tout au contraire, dans le cas des objets qui nous concernent, l’homothétie interne fait que le hasard doit avoir précisément la même importance à toutes les échelles, ce qui implique qu’il n’y a aucun sens à parler de niveaux microscopique et macroscopique.
  12. P46: À propos de la Notion de Hasard Primaire. (…) Celui ci consiste en un programme sur ordinateur, combiné avec un nombre qu’on appelle “graine“. Ce nombre peut être choisi arbitrairement (disons le numéro de téléphone du programmateur). Mais le programme est tel que, chaque fois qu’on “plante” la même graine, le pseudo-dé “fait pousser” la même suite pseudo-”aléatoire”.
  13. P48: Échantillons de mouvement brownien vrai, et chaos homogène.
    (…) Il s’agit d’un processus physique, et non pas mathématique: chaque segment réunit artificiellement les positions successives, sur le plan focal d’un microscope, d’une particule soumise à des chocs moléculaires. Si on regardait la trajectoire à des instants deux fois plus rapprochés, chaque saut serait remplacé par deux sauts de longueur totale supérieure. Dans le modèle mathématique, ledit allongement de la trajectoire se poursuit sans fin, et par suite la longueur totale d’un échantillon est infinie. (…)
    perso: je vois un lien à Hole in gaps
  14. P51, §1: Même si l’énergie relative du “1″ est très forte, il arrive de temps en temps que le bruit soit suffisamment intense pour déformer le “1″ en “0″, ou inversement. De ce fait, la distribution des erreurs reflète celle du bruit, tout en la simplifiant – si j’ose dire – jusqu’à l’os, puisqu’une fonction ayant de très nombreuses valeurs possibles (le bruit) est remplacée par une fonction à deux valeurs: elle égale zéro s’il n’y a pas d’erreur. Elle égale un s’il y en a. L’intervalle entre deux erreurs sera appelé “intermission”.
  15. p60, §3: (…) le problème de la distribution temporelle des erreurs de téléphone (…). On savait que ces erreurs sont groupés en rafales, mais je voulus vérifier si les intervalles entre erreurs ne seraient pas indépendants. Une étude empirique confirma cette conjoncture, et conduisit aux modèles discutés dans le texte.
  16. P64: Effet de trémas en forme de bande. Ville aux rues aléatoires.
    (…) Lorsque Q dépasse 2, tout est en “rues” et rien en “maisons”. voir figure.
  17. P70-71: Voir figures à propose de Tranches de “fromage fractal d’emmenthal”, à trous ronds aléatoires.
  18. P73, §1: Une autre explication de cette hésitation à traiter de l’irrégulier est que l’on ne savait pas le décrire géométriquement, toutes les tentatives pour le faire ayant dû avouer des déficiences.
  19. P75, §2: (…) Si le modèle fractal avec 0<D<3 ne s’applique que dans une zone tronquée aux deux bouts, on pourra dire de l’Univers qu’il est globalement de dimension 3, mais avec des perturbations locales de dimension inférieure à 3 (tout comme la théorie de la relativité générale affirme que l’Univers est globalement euclidien, mais que la présence de la matière le rend localement riemannien).

Lecture à poursuivre.

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Benoit Mandelbrot, Les Objets fractals troisième édition, suivie de Survol du langage fractal, Nouvelle bibliothèque scientifique, Flammarion, 1989, France