Jean-Claude Pont, La Topologie algébrique

  1. Avant propos:
    §2, Intuitivement, une transformation topologique d’une figure est une transformation qui se fait sans déchirure ni recouvrement. Ainsi, gonfler une chambre à air c’est la déformer topologiquement, au moins dans la période qui précède l’éclatement. De même lorsqu’on tire sur un fil élastique, quelle que soit d’ailleurs sa forme finale. Deux figures, images l’un de l’autre par une telle transformation, sont homéomorphes ou topologiquement équivalentes. Ainsi a-t-on pu dire, non sans humour, qu’un topologiste est un mathématicien qui ne sais pas distinguer une bouée de sauvetage d’une tasse à café.
    §3, (…) Quant la topologie, elle est cette partie des mathématiques qui traite des propriétés des figures se conservant par des transformations topologiques. Ainsi le fait d’être close pour une ligne est une propriété topologique, ce qui n’est pas le cas de sa longueur. Un problème fondamental de la topologie consiste alors à déterminer si deux figures sont homéomorphes ou non, c’est-à-dire à répertorier et à dénombrer les classes induites par l’homéomorphisme.
    §3 (…) les figures étudiées par la période qui nous occupe sont toujours supposées triangulables, c’est-à-dire qu’on peut les recouvrir par un nombre fini ou infini dénombrables de segments, de triangles, de tétraèdres, etc.
  2. P2, §1: Leibniz n’est pas le créateur de l’analysis situ (…)
    Pages suivantes, théorème d’Euler et Descartes
  3. P15, §2: Le pont de Kœnigsberg, 2 bras 7 ponts. (…) une personne peut-elle s’arranger de manière à passer une fois sur chaque point, mais une fois seulement? (…) Euler montre que ce problème n’a pas de solution.
  4. p17: La classification d’Euler pour les polyèdres pas satisfaisante.
    e – k + f =2 / sommet – arêtes + faces = 2
  5. P18, §1: Suite page 17, le théorème d’Euler n’est pas satisfaisant, restrictions de la page 17.
  6. P19, §1: À propos d’Euler, (…) c’est, pour lui comme pour nous, un théorème d’Analysis situ énumérative; aussi a-t-il cherché à le démontrer par des considérations indépendantes de toute propriété métrique (…)
  7. P24, fin: Il suffit alors de décomposer chaque polyèdre en pyramides, à partir d’un point quelconque de son intérieur.
  8. P29, §2: Pour terminer ce paragraphe, disons que la démonstration de von Staudt, qui appartient à la théorie des graphes, utilise sans justitication les propositions: a) tout graphe simplement connexe contient un arbre qui a pour sommets tous les sommets du graphe (1); et b) dans chaque arbre, le nombre des somets surpasse d’une unité le nombre des arêtes. Dans la seconde hypothèse, von Staudt définit pratiquement la notion de polyèdre à connexion simple.
  9. P30, §2: Citation de Schläfli: (…) contient une tentative visant à fonder  et à développer un nouveau rameau de l’analyse, qui soit en même temps une géométrie analytique à n dimensions, contenant comme cas particulier la géométrie analytique à 2 et 3 dimensions… Comme la géométrie ordinaire peut être nommée théorie d’un continu trois fois étendu, j’ai nommé ma théorie, théorie d’un continu multiplement étendu.
  10. P33: Citation de Gauss, «De même qu’en imaginant par le centre de notre sphère auxilliare des droites respectivement parallèles à chacune des normales d’une surface courbe, à chaque point déterminé de la deuxième surface vient correspondre un point déterminé de la première; de la même manière, toute ligne ou toute figure tracée sur la surface sphérique sera représentée par une ligne ou par une figure tracée sur la surface sphérique. Dans la comparaison de deux figures qui se correspondent ainsi, et dont l’une sera comme l’image de l’autre, on peut se placer à deux points de vue: on peut avoir égard seulement aux quantités; ou bien ne s’occuper que des relations de position, abstraction faite des relations de quantité.

lecture à poursuivre

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Jean-Claude Pont, La Topologie algébrique des origines à Poincaré, Presses universitaires de France, Paris, 1974

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